幣圈斐波那契

1. 什麼是斐波那契數列在日常生活中有什麼實例

菲波那契數列指的是這樣一個數列：

1，1，2，3，5，8，13，21……

這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和

它的通項公式為：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根號5】

很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。

該數列有很多奇妙的屬性

比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……

還有一項性質，從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1

如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到

如果任意挑兩個數為起始，比如5、-2.4，然後兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你將發現隨著數列的發展，前後兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前後兩項之積的差值也交替相差某個值
斐波那契數列別名
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」。

2. 什麼是斐波那契數列

斐波那契數列數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和。

例子：數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........

應用：

生活斐波那契

斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。

斐波那契數與植物花瓣3………………………

百合和蝴蝶花5……………………

藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花8………………………

翠雀花13………………………

金盞和玫瑰21……………………

紫宛34、55、89……………雛菊

斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。

葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。

黃金分割

隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887..…

(2)幣圈斐波那契擴展閱讀：

性質：

平方與前後項

從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積少1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積多1。

如：第二項1的平方比它的前一項1和它的後一項2的積2少1，第三項2的平方比它的前一項1和它的後一項3的積3多1。

（註：奇數項和偶數項是指項數的奇偶，而並不是指數列的數字本身的奇偶，比如從數列第二項1開始數，第4項5是奇數，但它是偶數項，如果認為5是奇數項，那就誤解題意，怎麼都說不通）

證明經計算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

發明者：

斐波那契數列的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生於公元1170年，卒於1250年，籍貫是比薩。他被人稱作「比薩的列昂納多」。1202年，他撰寫了《算盤全書》（Liber Abacci）一書。

他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數學。

3. 斐波那契數列是什麼在股市中怎麼應用

斐波那契數列指的是這樣一個數列：
1、1、2、3、5、8、13、21、……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。

通用公式：

(3)幣圈斐波那契擴展閱讀

斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。

斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要一段「休息」時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝「休息」，老枝依舊萌發；此後，老枝與「休息」過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年「休息」。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的「魯德維格定律」。

另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數：3、5、8、13、21、……

其中百合花花瓣數目為3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和89三個數目的花瓣。

4. 相機中的斐波那契螺旋線什麼作用

作用是用斐波納契比例構造完美構圖。

斐波納契比例也被稱作Phi或黃金分割，這個規律由萊昂納多·斐波納契在公元1200年左右發現。他注意到自然界中大量出現了這個比例，以此為基礎的自然結構設計即實用又美觀。從此就有了黃金分割這個昵稱。

斐波納契比例並不是復雜的數學概念。這是一個實用的構圖方式，歷史上著名的藝術家和建築師，以及世界500強公司都在用。對攝影的作用是用這個比例創造出的構圖，經過裁剪，符合人類潛意識里的審美觀。

(4)幣圈斐波那契擴展閱讀：

斐波納契的成就。

歐洲，黑暗時代以後第一位有影響的數學家斐波那契（約1175～1240），其拉丁文代表著作《計算之書》（Liber Abaci）和《幾何實踐》（Practica Geometriae）也是根據阿拉伯文與希臘文材料編譯而成的。

斐波那契，即比薩的列昂納多（Leonardo of Pisa），早年隨父在北非從師阿拉伯人習算，後又游歷地中海沿岸諸國，回義大利後即寫成《計算之書》（Liber Abaci，1202，亦譯作《算盤全書》、《算經》）。《計算之書》最大的功績是系統介紹印度記數法，影響並改變了歐洲數學的面貌。

5. 斐波那契數列從幾開始

斐波那契數列
斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列、因數學家萊昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波那契數列以如下被以遞推的方法定義：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）在現代物理、准晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從 1963 年起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜志，用於專門刊載這方面的研究成果。
中文名
斐波那契數列
外文名
Fibonacci sequence
別名
黃金分割數列、兔子數列
表達式
F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=3,F[1]=1,F[2]=1)
提出者
萊昂納多·斐波那契
快速
導航
通項公式

特性

應用

推廣

相關數學

斐波那契弧線

Java代碼實現

Javascript代碼實現

C++代碼實現

Python3代碼實現

php代碼實現

Rust代碼實現
定義
斐波那契數列指的是這樣一個數列：
這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和。

自然中的斐波那契數列
斐波那契數列的定義者，是義大利數學家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生於公元1170年，卒於1250年，籍貫是比薩。他被人稱作「比薩的萊昂納多」。1202年，他撰寫了《算盤全書》（Liber Abacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點於阿爾及利亞地區，萊昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數學。另外斐波納契還在計算機C語言程序題中應用廣泛
斐波那契數列的黃金特徵1，還讓我們聯想到佩爾數列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（該類數列的這種特徵值稱為勾股特徵）。
佩爾數列Pn的遞推規則：
據此類推到所有根據前兩項導出第三項的通用規則：，稱為廣義斐波那契數列。
當時，我們得到斐波那契—盧卡斯數列。
當時，我們得到佩爾—勾股弦數（跟邊長為整數的直角三角形有關的數列集合）。
當時，我們得到等差數列。其中時，我們得到自然數列1，2，3，4，5…自然數列的特徵就是每個數的平方與前後兩數之積的差為 1（等差數列的這種差值稱為自然特徵）。
具有類似黃金特徵、勾股特徵、自然特徵的廣義——斐波那契數列 。
當，時，我們得到等比數列1，2，4，8，16…
相關數學
排列組合
有一段樓梯有10級台階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第 10 級台階有幾種不同的走法?
這就是一個斐波那契數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有兩種登法；登上三級台階，有三種登法；登上四級台階，有五種登法……
1，2，3，5，8，13…… 所以，登上十級，有 89 種走法。
類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？
答案是種。
求遞推數列的通項公式
由數學歸納法可以得到：，將斐波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。

6. 斐波那契回調線口訣

將 1 除以 0.618 和 0.382。
它們具有以下特點：
1. 序列中的任何數字都由前兩個數字之和組成。
2、前數與後數之比接近一個固定常數，即0.618。
3、後一個數字與前一個數字的比率接近1.618。
4. 1.618和0.618互為倒數，它們的乘積約為1。
5、如果有任何一個數與最後兩個數比較，其值接近2.618； 如果與前兩個數字相比，其值趨於接近0.382。
6、除了能夠體現黃金分割的0.618和0.382這兩個基本比例外，以上數字組合還有以下兩組神秘比例。A、0．191、0．382、0．5、0．618、0．809；B、1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618。
將幾個斐波那契回調值連成一條線（也稱為黃金分割線）以查看整體趨勢。
拓展資料：
一、基本用法：
1、斐波那契回調線常用於尋找上漲行情回調的支撐位和下跌行情回調的壓力位。這里需要指出，斐波那契回調線也可以用來尋找目標位。斐波那契回調線由七個數字組成：0、0.236、0.382、0.5、0.618、0.764 和 1
2、繪制斐波那契回調線有兩個方向：下跌行情：一般選擇前高和近期低點，選擇斐波那契技術指標，點擊價格高點，按住滑鼠，然後移至低點釋放上漲行情：一般選擇前低和近期高點，選擇斐波那契技術指標，點擊價格低點，按住滑鼠，然後移動到低點釋放上漲行情
二、交易技巧：如何使用斐波那契回調線指標。0.618線是最重要的黃金分割線。因此，看這條線能否在上漲行情中起到回調的支撐作用是非常重要的。顯然，圖中a點，兩個交易日均在觸及0.618線後回落，實物部分也收於0.618線上方_上漲行情再度開盤。另外，再看0.764、0.5、0.382和0.236線，對價格形成了良好的支撐。基本可以識別出這條回調線可以作為參考。
1、接下來，交易者可以考慮使用這條斐波那契回調線來布局下一個市場趨勢。對於這些點，以三角形2背後的市場走勢為例，交易者有兩種操作方法：回調線下方掛空單是判斷價格突破關鍵支撐位後下跌行情出現。另外，在下一個回調線設置止盈止損，在回調線上方設置止損。例如，在圓圈1下方放置一個空單，在圓圈2中設置止盈，在圓圈1上方設置止損，等等。
2、觀察K線能否有效突破回調線。如果實體無法突破回調線，則採用反手布局。例如，在B圈0.618線的重要支撐位，在k線下方繪制並刺穿0.618線後，交易者可考慮多下單，獲利止損可謹慎操作，以上各回調線各佔一部分利潤。但總體來說，0.618一線實力強大，上方空間一般到頂。
3、斐波那契回調是一種研究和判斷事物發展趨勢的技術分析方法。 用於判斷支撐位和阻力位。 它以斐波那契數列命名。 斐波那契回調是基於這樣一種理論，當趨勢在一個方向發生變化時，它在相反方向的回調將在可預測的水平被阻止，然後趨勢將返回到原來的方向。

7. 斐波那契回調線是什麼

閃牛分析：

下圖顯示的是牛市和熊市中可能產生的斐波那契回調位。

1、在回調線的下方掛空單，這種做法是判斷價格突破關鍵支撐位後，下跌行情會顯現。另外，把止盈位設在下一條回調線，止損設在回調線上方。例如，在圓圈1的下方布局空單，把止盈設置在圓圈2，止損設置在圓圈1上方，以此類推。

2、觀察K線能否有效突破回調線，倘若實體無法突破回調線，則反手布局。例如，在圓圈B的0.618線的重要支撐位上，K線下抽刺穿0.618線後強勢回調，這時交易者可考慮布局一張多單，止盈可保守操作，在上方每一條回調線都獲利了結一部分。但一般來說，0.618線由於威力強大，上方空間一般到頂端。

不過，也不能盲目的利用這個方法做單，如同圖中藍色圓圈顯示，上影上抽突破0.382線後隨即回落，實體收於下方，但是此次做空，將會被止損於0.382線上方，不過以這種方式，損失也不會過大。

後續走勢可能會如何？

現在，我們根據此次畫的斐波那契回調線來預測一下接下來的走勢。從上圖可以看出，已突破0.618線，即圓圈C的位置。目前在跌穿了0.764線後，有所反彈。不過，從當前的走勢來說，方向依然不太明朗。交易者需要等待的是三個方向：

1、看K線能否回升至0.618線，倘若觸及0.618線後無法有效突破，即可考慮布局空單，止盈如此前所說，在下一根回調線逐步獲利了結，不過，最低可持有至15.61美元/盎司，即回調線底部；止損則可設在0.618線上方。

2、倘若K線有效突破0.618線，即可考慮布局多單，止盈止損方法同上。

3、K線再度跌破0.764線，可考慮布局空單，止損設在0.764線上方，止盈設在最低線處，但建議最好手動操作。

8. 斐波那契數列與音樂！！！！！！！！！！！！！！！

「斐波那契數列」的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作「比薩的列昂納多」。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫「比內公式」，是用無理數表示有理數的一個範例。）【√5表示根號5】
很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
[編輯本段]【該數列有很多奇妙的屬性】
比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……
如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。
5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你將發現隨著數列的發展，前後兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前後兩項之積的差值也交替相差某個值。如果所有的數都要求是自然數，能找出被任意正整數整除的項的此類如果任意挑兩個數為起始，比如5、-2.4，然後兩項兩項地相加下去，形成數列，必然是斐波那契數列的某項開始每一項的倍數，如4,6,10,16,26……（從2開始每個數的兩倍）。
斐波那契數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。
斐波那契數列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性質：
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1
3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
在楊輝三角中隱藏著斐波那契數列
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
過第一行的「1」向左下方做45度斜線，之後做直線的平行線，將每條直線所過的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8……
（1）細察下列各種花，它們的花瓣的數目具有斐波那契數：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）細察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數：紫宛、大波斯菊、雛菊。
斐波那契數經常與花瓣的數目相結合：
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草
8………………………翠雀花
13………………………金盞草
21………………………紫宛
34，55，84……………雛菊
（3）斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。
（4）斐波那契數列與黃金比值
相繼的斐波那契數的比的數列：
它們交錯地或大於或小於黃金比的值。該數列的極限為。這種聯系暗示了無論（尤其在自然現象中）在哪裡出現黃金比、黃金矩形或等角螺線，那裡也就會出現斐波那契數，反之亦然。
[編輯本段]【與之相關的數學問題】
1.排列組合.
有一段樓梯有10級台階,規定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級台階有幾種不同的走法?
這就是一個斐波那契數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有兩種登法；登上三級台階，有三種登法；登上四級台階，有五種登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種
2.數列中相鄰兩項的前項比後項的極限.
就是問，當n趨於無窮大時，F(n)/F(n+1)的極限是多少？
這個可由它的通項公式直接得到，極限是(-1+√5)/2，這個就是所謂的黃金分割點，也是代表大自然的和諧的一個數字。
3.求遞推數列a(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通項公式.
由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).將菲波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。
[編輯本段]【斐波那契數列別名】

斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」。
斐波那契數列
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;
兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對;
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對;
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數：---0---1---2---3---4---5---6---7---8---9--10--11--12
兔子對數：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89-144-233
表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個特點的證明：每月的大兔子數為上月的兔子數，每月的小兔子數為上月的大兔子數，即上上月的兔子數，相加。
這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）
[編輯本段]【斐波那挈數列通項公式的推導】
斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化簡得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那麼：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則F(n)=(√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
[編輯本段]【C語言程序】

main()
{
long fib[40] = {0,1};
int i;
for(i=2;i<40;i++)
{
fib[i ] = fib[i-1]+fib[i-2];
}
for(i=0;i<40;i++)
{
printf("F%d==%d\n", i, fib);
}
return 0;
}
[編輯本段]【C#語言程序】
public class Fibonacci
{
//NormRen
static void Main(string[] args)
{
int x = 0, y = 1;
for (int j = 1; j < 10; j++, y = x + y, x = y - x)
Console.Write(y + " ");
}
}
[編輯本段]【Java語言程序】
public class Fibonacci
{
public static void main(String[] args)
{
int x=1,y=1;
System.out.println(x+" ");
for(int i=1;i<=20;i++)
{
System.out.println(y+" ");
y=x+y;x=y-x;
}
}
}
[編輯本段]【Pascal語言程序】
遞推：
var
fib: array[0..40]of longint;
i: integer;
begin
fib[0] := 1;
fib[1] := 1;
for i:=2 to 39 do
fib[i ] := fib[i-1] + fib[i-2];
for i:=0 to 39 do
write('F', i, '=', fib[i ]);
end.
遞歸：
function fib(n:integer):longint;
begin
if (n=1) then exit(0);
if (n=2) then exit(1);
fib:=fib(n-2)+fib(n-1);
end;
[編輯本段]【PL/SQL程序】
declare i number :=0;
j number :=1;
x number :=1;
begin
while x<1000
loop
dbms_output.put_line(x);
x:=i+j;
i:=j;
j:=x;
end loop;
end;
[編輯本段]【數列與矩陣】
對於斐波那契數列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定義
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
對於以下矩陣乘法
F(n+1) = 1 1 * F(n)
F(n) 1 0 F(n-1)
它的運算就是
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數列的定義
設1 為B，1 1為C
1 1 0
可以用迭代得到:
斐波那契數列的某一項F(n)=(BC^(n-2))1
這就是斐波那契數列的矩陣乘法定義.
另矩陣乘法的一個運演算法則A¬^n(n為偶數)=A^(n/2)* A^(n/2).
因此可以用遞歸的方法求得答案.
時間效率：O(logn)，比模擬法O(n)遠遠高效。
代碼（PASCAL）
{變數matrix是二階方陣, matrix是矩陣的英文}
program fibonacci;
type
matrix=array[1..2,1..2] of qword;
var
c,cc:matrix;
n:integer;
function multiply(x,y:matrix):matrix;
var
temp:matrix;
begin
temp[1,1]:=x[1,1]*y[1,1]+x[1,2]*y[2,1];
temp[1,2]:=x[1,1]*y[1,2]+x[1,2]*y[2,2];
temp[2,1]:=x[2,1]*y[1,1]+x[2,2]*y[2,1];
temp[2,2]:=x[2,1]*y[1,2]+x[2,2]*y[2,2];
exit(temp);
end;
function getcc(n:integer):matrix;
var
temp:matrix;
t:integer;
begin
if n=1 then exit(c);
t:=n div 2;
temp:=getcc(t);
temp:=multiply(temp,temp);
if odd(n) then exit(multiply(temp,c))
else exit(temp);
end;
procere init;
begin
readln(n);
c[1,1]:=1;
c[1,2]:=1;
c[2,1]:=1;
c[2,2]:=0;
if n=1 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
if n=2 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
cc:=getcc(n-2);
end;
procere work;
begin
writeln(cc[1,1]+cc[1,2]);
end;
begin
init;
work;
end.
[編輯本段]【數列值的另一種求法】
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距離 x 最近的整數。
[編輯本段]【數列的前若干項】
1、 1
2 、1
3 、2
4 、3
5 、5
6 、8
7 、13
8 、21
9 、34
10、 55
11 、89
12 、144
13 、233
14 、377
15 、610
16 、987
17 、1597
18 、2584
19 、4181
20 、6765
......
斐波那契弧線
斐波那契弧線，第一，此趨勢線以二個端點為准而畫出，例如，最低點反向到最高點線上的兩個點。三條弧線均以第二個點為中心畫出，並在趨勢線的斐波納契水平：38.2%， 50%和61.8%交叉。
斐波納契弧線，是潛在的支持點和阻力點水平價格。斐波納契弧線和斐波納契扇形線常常在圖表裡同時繪畫出。支持點和阻力點就是由這些線的交匯點得出。
要注意的是弧線的交叉點和價格曲線會根據圖表數值范圍而改變因為弧線是圓周的一部分，它的形成總是一樣的。
斐波那契扇形線
斐波那契扇形線，例如，以最低點反向到最高點線上的兩個端點畫出的趨勢線。然後通過第二點畫出一條「無形的(看不見的)」垂直線。然後，從第一個點畫出第三條趨勢線：38.2%， 50%和61.8%的無形垂直線交叉。
這些線代表了支撐點和阻力點的價格水平。為了能得到一個更為精確的預報，建議和其他斐波納契工具一起使用。
[編輯本段]【斐波那契數列的應用】
一位魔術師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：「請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺，寬5英尺的長方
形地毯。」這位匠師對魔術師算術之差深感驚異，因為商者之間面積相差達一平方英尺呢！可是魔術師竟讓匠師用圖2和圖3的辦法達到了他的目的！
這真是不可思議的事！親愛的讀者，你猜得到那神奇的一 平方英尺究竟跑到哪兒去呢？
斐波那契數列在自然科學的其他分支，也有許多應用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要一段「休息」時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝「休息」，老枝依舊萌發；此後，老枝與「休息」過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年「休息」。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的「魯德維格定律」。
另外，觀察延齡草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金鳳花,耬斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數:3,5,8,13,21……
斐波那契螺旋
具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部
具有13條逆時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部
這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該並非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的「優化方式」，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至於在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對於許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為「黃金角度」，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。

9. 外匯寶：什麼是斐波那契回歸線

斐波那契回調線，也被稱作「黃金分割線」，是通過分析技術圖形來預判未來價格走勢的一種常用工具。斐波那契回調線通常被用作分析貨幣對、商品價格重要支撐/阻力位。
斐波那契回調線的畫線方法是：選取一段時期內一波行情的高點和低點，通過計算得出兩個點位間38.2%、50%、61.8%位置。若有需要可以擴展至23.6%、80.9%、100%、138.2%、161.8%位置。其中，38.2%、61.8%最容易形成關鍵阻力位/支撐位。
通常而言，貨幣對、商品價格之前一波下跌行情的38.2%位置為弱勢反彈位，61.8%位置為強勢反彈位;之前一波上漲行情的38.2%位置為弱勢回調位，61.8%位置為強勢回調位。

10. 斐波那契數列的應用是什麼

（1）斐波那契數列與排列組合

有一段樓梯有10級台階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級台階有幾種不同的走法。

這就是一個斐波那契數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有兩種登法；登上三級台階，有三種登法；登上四級台階，有五種登法……

1、2、3、5、8、13、21……所以，登上10級台階總共有89種登法。

(2)斐波那契數列與與黃金分割的關系

有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向於無窮大時，前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618。

（或者說後一項與前一項的比值小數部分越來越逼近黃金分割0.618、前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618），越到後面，這些比值越接近黃金比.

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………，55÷89=0.617977…，…………，144÷233=0.618025…，46368÷75025=0.6180339886…，...

（3）斐波那契螺旋線

以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形，然後在正方形裡面畫一個90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線。自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案。

斐波那契數列在自然界的體現：

（1）樹木的分叉

樹苗在第一年後長出一條新枝，新枝成長一年後變為老枝，老枝每年都長出一個新枝，以後每個樹枝都遵循這樣的規律，於是第一年只有一個主幹，第二年有兩個枝，第三年三個，第四年五個，以此類推，每年的分枝數便構成了斐波那契數列。

（2）花瓣的數量

有很多花瓣也都遵循斐波那契數列，比如：蘭花，雛菊，延齡草，野玫瑰，大波斯菊，金鳳花，百合花，蝴蝶花，紫苑，南美血根草等等。

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