斐波那契數列的算力

A. 斐波那契數列通項公式的小問題

解：分享一種解法。斐波拉契數列的通式F(n+2)=aF(n+1)+bF(n)，F(1)=F(2)=1。題中給出的是a=b=1的特例。得出F(n)=C1(X1)^n+C2(X2)^n，是源於特徵方程的產生過程的「逆應用」。其過程是，在F(n+2)=F(n+1)+F(n)兩邊加上「-xF(n+1)」、並設An=F(n+1)-xF(n)，An+1=(1-x)An+[(1-x)x+1]F(n)。【要構建{An}為等比數列，則令F(n)的系數(1-x)x+1=0，即特徵方程x^2=x+1】。這樣，An為首項為F(2)-xF(1)=1-x、公比為(1-x)的等比數列。∴An=F(n+1)-x1F(n)=(1-x1)^n ①，An=F(n+1)-x2F(n)=(1-x2)^n ②，由①-②得(x2-x1)F(n)=(1-x1)^n-(1-x2)^n。再∵本題中，1-x1=x2，1-x2=x1，x2-x1=-1/√5，經整理有F(n)的表達式。供參考。

B. 斐波那契數列的求和公式

斐波那契數列的通項公式為
an=√5/5[(1+√5)/2]^n-√5/5[(1-√5)/2]^n，設bn=√5/5[(1+√5)/2]^n，cn=√5/5[(1-√5)/2]^n
則an=bn-cn，{bn}是公比為(1+√5)/2的等比數列，{cn}是公比為(1-√5)/2的等比數列，
bn的前n項和Bn=√5/5[(1+√5)/2]*(1-[(1+√5)/2]^n)/(1-[(1+√5)/2])
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10
cn的前n項和Cn=√5/5[(1-√5)/2]*(1-[(1-√5)/2]^n)/(1-[(1-√5)/2])
=(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
所以an的前n項和An=a1+a2+…+an=b1-c1+b2-c2+…+bn-cn=Bn-Cn
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
={(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)}/10

C. 斐波那契數列的總和

這個就通過那個通項公式求和就可以了。
通項公式為an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
對0-n求和Sn（a0=0，為了計算方便加上，對結果沒有影響）
利用等比數列的求和公式。1+a+a^2+...+a^n=(1-a^(n+1))/(1-a)
Sn=(1/√5)*{（((1+√5)/2)^（n+1）-1）/（(1+√5)/2-1） - (((1-√5)/2)^(n+1)-1)/((√5-1)/2)}
=1/√5*{(1/(√5-1)/2)*（((1+√5)/2)^（n+1）-1）+1/(√5+1)/2)*（((1-√5)/2)^（n+1）-1）}
=1/√5*{((1+√5)/2)^（n+2）-((1-√5)/2)^（n+2）}-1 這樣就求出來了呀。。
而且我們發現由通項公式，
Sn=a（n+2）-1， 我驗證了一下發現這個公式是正確的。a（n+2）為斐波那契數列的第n+2項
實際上我們可以很容易由數學歸納法證明這個公式的正確性。不懂再問我。

D. 斐波那契數列的演算法

斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}（又叫「比內公式」，是用無理數表示有理數的一個範例。）（√5表示根號5）

E. 斐波那契數列的性質，屬性

這個有點難

F. 斐波那契數列通項公式怎麼推出來的

由an+2= an+1+an
有an+2- an+1- an=0
構造特徵方程 x2-x-1=0,
令它的兩個根是p,q 有pq=-1 p+q=1

下面我們來證 {an+1-pan}是以q為公比的等比數列。

為了推導的方便，令a0=1，仍滿足an+2= an+1+an

an+1-pan
= an+an-1 -pan
= (1-p) an-pqan-1
=q(an-pan-1)
所以：{an+1-pan}是以q為公比的等比數列。

a1-pa0
=1-p=q

所以 an+1-pan=q*qn=qn+1 ①

同理 an+1-qan=p*pn=pn+1 ②

①-②:(q-p)an= qn+1-pn
因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2，q-p=√5，所以
an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2] n+1}
可驗證a0，a1也適合以上通項公式。

G. 關於斐波那契數列中的規律.

後一個數是前兩個數的和。繁分數分母總是大於1，所以的值總是小於1
而分子總是取先前的分母，除了第一次分子分母均是1時，值等於1/2，後來的值均大於1/2
而每次計算繁分數時，繁分數分母中的分母總是不變，分子總是先前分子與分母之和
這就完全符合斐波那契數列的展開規律

那麼這個最簡單的無窮連分數的值是多少呢？
也就是斐波那契數列連續兩項之比的極限是多少呢？
設：x=1/(1+1/(1+1/(1+...)))
顯然有：x=1/(1+x)
即：x^2+x-1=0
x=(√5-1)/2=0.618...(捨去負值)
這就是黃金分割比例，也是斐波那契數列連續兩項之比的極限
這就是樓主所說的：「越來越接近黃金比例」的原因。
所謂「隨n的增加，兩數之間的差距越來越小」，其實就是越來越接近極限嘛。

那為什麼「任意兩數不斷相加」都這樣呢？
黃金分割比例其實是個中外比的問題：
所謂中外比，就是分已知線段為兩部分，使其中一部分是全線段與另一部分的比例中項。
如果把較長的一段設為x，則較短的一段為1-x
所以，x^2=1*(1-x) 【其中「1」表示全線段】
即：x^2+x-1=0，與上面解最簡單的無窮連分數的方程完全一致
注意這里的全線段用1來表示，這就是說求黃金分割比例與線段的實際長度無關
同樣道理，對於斐波那契數列的展開，如果考察的是前後兩項的比例
那麼，從哪兩個數開始相加，就是無所謂的了
因為總是兩個數中的大數與兩數和之比，這與黃金分割的中外比完全是一個意思
況且除了第一個比值還不是與「和」比之外，其他所有比值總是在0.5和1之間
如果開始的兩個數不相同，那麼：m,n,m+n,m+2n,2m+3n,3m+5n,...
可見還是按斐波那契數列規律在展開，當然這是大致理解，嚴格的證明要看相關資料
再想想看，如果斐波那契數列最開始兩個數是1和2呢？不同了吧。
還不是一樣展開，除少了第一項外，其他並沒有什麼不同。
如果開始的兩個數相同，那麼：m,m,2m,3m,...其實就是斐波那契數列，
只是每個數差個m倍而已，完全不影響連續兩項之比的值。而且從第3項開始，a前的系數恰好構成斐波那契數列；
從第2項開始，b前的系數恰好構成斐波那契數列；
於是，由斐波那契數列通項公式有：
第n個數a前的系數=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-2） - [(1-√5)/2]^（n-2）}
第n個數b前的系數=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-1） - [(1-√5)/2]^（n-1）}
所以第n個數（n≥3）為：
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-2） - [(1-√5)/2]^（n-2）}*a+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-1） - [(1-√5)/2]^（n-1）}*b。

H. 斐波那契數列的公式推導

斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
顯然這是一個線性遞推數列。

通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化簡得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那麼：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

I. 斐波那契數列為：1，1，2，3，5，8，13，…，它的前兩項都等於1，之後的每一項都等於前二項之和．請問在

斐波那契數列的個位數為60個一循環，每個循環中有4個個位數是2的：
2013÷60=33…33
余數是33，那麼在這區間只有第3位的個位是2，
33×4+1
=132+1
=133；
答：在斐波那契數列的前2013項中，有133項的末位數字是2．

J. 斐波那契數列怎麼求它的第幾項是多少

答案是肯定有的！！！！

事實上任意的：

a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的相鄰3項的遞推式，都可以解出其通項公式

解決這類問題的方法主流的有兩種：1.待定系數法2.特徵方程法

下圖便是待定系數法解此類問題的完備性與特徵方程的的證明

我以一個特殊的例子為LZ講解一下特徵方程法的一個應用

{1，1，2，3，5，8，13，21，……}

不難發現這個數列有兩個非常顯著的特點就是：a1=a2=1且an=a(n-1)+a(n-2)

其實這就是著名的斐波那契數列其從第3項其後項為前兩項之和

這就相當於a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的A,B均為1的特殊情況

通過下圖所證明的「特徵方程」法可知：

解an=a(n-1)+a(n-2)的特徵方程x^2=x+1得

x1,x2分別為（1+跟5）/2和（1-跟5）/2

則有an=α[（1+跟5）/2]^n+β[（1-跟5）/2]^n

其中α與β為待定系數，可代入a1,a2來解得α=1/跟5，β=-1/跟5

即an=（1/跟5）{[（1+跟5）/2]^n-[（1-跟5）/2]^n}

這就是斐波那契數列的通項公式！！！

那麼對於a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的相鄰3項的遞推式

只需要解其特徵方程x^2=Ax+B

①僅有1個實根：{an/（x^n）}為等差數列

可待定系數設an=[a1+(n-1)d]x^(n-1)

再由a2確定d的值

②有兩個不相等的實根：

可待定系數設an=α(x1)^n+β(x2)^n

再由a1,a2確定α和β的值

若LZ還有什麼地方不明白的可追問

希望我的回答對你有幫助